Jeżdżąc dość regularnie pociągami jednej z kolejowych spółek, zacząłem się zastanawiać, w jaki sposób można, możliwie jak najbardziej, obniżyć koszty z tym związane. Zwykły bilet w jedną stronę kosztuje 8,5 złotego. Oczywiście jest to rozwiązanie wybitnie jednorazowe i najdroższa z dostępnych opcji. Planując powrót tego samego dnia można wykupić bilet powrotny, kosztujący 15,72 złotych, czyli już tylko 7,86 złotego w jedną stronę. Dalszą obniżkę można osiągnąć, kupując bilety tygodniowe, miesięczne, kwartalne, co teoretycznie może sprowadzić cenę jednego przejazdu do mniej więcej 4 złotych. Jeszcze mniej płacą pasażerowie uprawnieni do przeróżnych zniżek – uczniowie, studenci, emeryci etc. – ale akurat niżej podpisany do żadnej z tych kategorii nie należy. 4-5 złotych jest zatem najniższą możliwą dla niego ceną za jeden przejazd. Ale czy na pewno?
W końcu sposobem na maksymalne obniżenie kosztów przejazdu, obniżenie teoretycznie do zera, jest… jeżdżenie w ogóle bez biletu, na tak zwaną gapę. Odkładając chwilowo na bok zagadnienia etyczne wiążące się z takim rodzajem postępowania, skupmy się teraz na oszacowaniu jego kosztów czysto finansowych.
Na gapę
Od czasu do czasu powraca i rozgrzewa do czerwoności w Polsce spór prawniczy dotyczący tego, co jest głównym czynnikiem odstraszającym przestępców od popełniania przestępstw. Jedni uczestnicy sporu twierdzą, że najważniejsza jest tutaj nieuchronność kary. Szkoła opozycyjna zaś, że kary tej surowość. Dyskusja rozgrzewa się do czerwoności, podczas gdy obie strony w swoim zacietrzewieniu nie potrafią dojrzeć, że żadna z nich nie ma racji. Naprawdę bowiem zagrożeniem, z którym liczy się potencjalny kryminalista, jest ani nieuchronność, ani surowość kary, ale iloczyn tych dwóch czynników, zwany też w matematyce wartością oczekiwaną jakiejś wielkości, w tym przypadku wyroku sądowego. Jeżeli średni wyrok za jakieś przestępstwo wynosi np. 10 lat, ale prawdopodobieństwo, że sprawca zostanie na niego skazany, jest na poziomie 20%, to średnia oczekiwana wielkość odsiadki wynosi 0,2•10 = 2 lata izolacji – i taki też koszt planujący przestępstwo bierze pod uwagę, choć prawie nigdy nie jest to kalkulacja świadoma.
Wracając do naszej spółki kolejowej: według jej cennika, kara za jazdę na gapę wynosi 150 złotych, a jeżeli ową karę zapłaci się od razu w pociągu, to stracimy złociszy tylko 60. Oczywiście z pewnością nie wszyscy gapowicze korzystają z tej zniżkowej możliwości, zatem efektywna wysokość mandatu będzie wyższa – powiedzmy 69 zł. Wartość oczekiwana mandatu wynosi więc
P•69
gdzie P jest prawdopodobieństwem skontrolowana gapowicza. Kara za brak biletu może się wydawać raczej niska – jest to w końcu ledwo, z dokładnością do rzędu wielkości, dziesięciokrotność ceny samego biletu – ale przyznać trzeba, że ma ta kalkulacja głęboki sens. Wyższa kwota byłaby znacznie trudniejsza do ściągnięcia, powodowałaby wzrost korupcji wśród kontrolerów, a w końcu – jak już wyżej to opisano – per saldo liczy się nie bezwzględna wysokość mandatu, tylko jego wartość oczekiwana. Jeżeli owa wartość będzie niższa od ceny biletu, wówczas taniej będzie podróżować na gapę. W przeciwnym razie lepiej bilet zakupić. Matematycznie ową granicę można opisać równaniem:
69•P = b
gdzie b jest ceną biletu – jak już wspomnieliśmy, znajdującą się gdzieś między 4 a 8,5 zł – przyjmijmy, że wynosi ona 5 złotych. Przy tych założeniach graniczne prawdopodobieństwo kontroli, poniżej którego nie opłaca się kupować „legalnego” biletu, wynosi ok. 7,25%. Ponieważ trudno by było oczekiwać od spółki kolejowej, aby uczciwie podała prawdziwą wartość owego prawdopodobieństwa do publicznej wiadomości, pozostaje nam przejście od rozważań teoretycznych do badań terenowych i wykonanie pomiaru.
Jeżeli w ciągu n przejazdów pociągiem zostaniemy skontrolowani k razy, to odpowiednie równanie będzie wyglądać następująco:
n•P = k
a ze względu na to, że zarówno liczba przejazdów, jak i kontroli należą do zbioru liczb całkowitych, należałoby jeszcze dla małych n i k wprowadzić poprawkę:
n•P = k±0,5
Autor eseju wykonał taki pomiar podczas 24 przejazdów pociągiem na wspomnianej linii kolejowej. Podczas tych 24 podróży nie został on skontrolowany ani razu. Świadczyć to może o tym, że owo prawdopodobieństwo kontroli P jest raczej niskie i wynosi poniżej 2,08%. Jeżeli faktycznie tak jest, to wartość oczekiwana mandatu wynosi 1,44 zł, co jest kwotą znacznie niższą niż jakiekolwiek rozsądne dolne oszacowanie ceny biletu. Oznacza to, że kupując legalny bilet, podróżny traci średnio co najmniej
5-0,0208•69 = 3,56 złotego
Wielka Tajemnica Kolejowa
Przejdźmy teraz od szczegółu do ogółu i potraktujmy populację podróżującą na tej trasie jako pewną całość. Zgodnie z teorią gier, w przypadku gdyby oczekiwana wysokość mandatu wynosiła 100% ceny biletu, podróżnym byłoby wszystko jedno i należałoby oczekiwać, że proporcja gapowiczów i osób, które bilet jednak zakupiły, wynosiłaby pół na pół. Z drugiej strony przy braku jakiejkolwiek kontroli (wartość oczekiwana równa zeru) nikt biletu by nie kupował. Mając te dwa punkty i korzystając z faktu, że wspomniana populacja podróżnych idzie w dziesiątki tysięcy, możemy przybliżyć ją rozkładem normalnym o średniej w wysokości 100% ceny biletu i odchyleniu standardowym równym 1/3 tej ceny.
Wiedząc, że oczekiwana wysokość mandatu wynosi 28,8% ceny biletu, można na podstawie tablic rozkładu normalnego oszacować, że jedynie… 1,63% pasażerów będzie się mogło wylegitymować ważnym biletem.
Zatem kiedy kontrola biletów w końcu nastąpi, kontrolerzy mogliby śmiało wygarnąć na peron wszystkich ludzi z pociągu, zwykle w porze szczytu około tysiąca osób, wpuścić z powrotem tych kilkunastu pasażerów ważne bilety posiadających, a na całą resztę nałożyć obowiązek uiszczenia odpowiedniej kwoty.
Jednak ktokolwiek podróżował pociągiem na objętej pomiarem trasie, doskonale zdaje sobie sprawę, że kontrole tak nie wyglądają. Proporcje złapanych gapowiczów są dokładnie odwrotne – nie więcej niż kilka osób na pociąg, czyli ok. 0,5% pasażerów. Nawet wziąwszy pod uwagę, że drugie tyle zdoła jakoś przed kontrolerami umknąć, nadal jest to mniej niż 1%.
Ponad 97% pasażerów świadomie i dobrowolnie dopłaca do tego całego interesu, tracąc na każdym przejeździe kilka złotych. Nazwijmy to zaskakujące zjawisko Wielką Tajemnicą Kolejową (WTK).
Potencjalne wyjaśnienia WTK są dwa. Pierwsze z nich postuluje, że prawdopodobieństwo kontroli jest w rzeczywistości znacznie większe, niż wyszło nam powyżej z pomiarów. Z punktu widzenia reguł statystycznych jest to możliwe. Przy założeniu poziomu ufności 5% – jak to się zwykle przy takich okazjach czyni – nie da się wykluczyć hipotezy, że faktyczna częstotliwość kontroli sięga 13,6%. Wtedy oczekiwana wartość kary wynosiłaby
0,136•69 = 9,38 zł
czyli prawie dwukrotność ceny biletu. Przy tej wartości w bilety zaopatrywałoby się aż 99,57% pasażerów, co jest wielkością bardzo dobrze zgodną z obserwacjami. Aby potwierdzić bądź wykluczyć tego rodzaju rozwiązanie WTK, wystarczy kontynuować pomiary odpowiednio długo, by doprecyzować możliwy przedział prawdopodobieństwa kontroli – co też autor zamierza czynić i we właściwej chwili wynikiem tych pomiarów się podzielić.
Aby w pełni docenić straszliwe piękno drugiego możliwego wyjaśnienia WTK, zajrzymy na chwilę do jaskini hazardu. Najbardziej znaną i od dziesięcioleci popularną w Polsce grą hazardową jest LOTTO, zwane także totolotkiem. Model tej gry jest powszechnie dostępny, także np. na Wikipedii, zatem nie będziemy go tu szczegółowo omawiać. Wystarczy nam zauważyć, że chociaż zupełnie inne niż w przypadku biletów kolejowych są tutaj prawdopodobieństwa, a także zupełnie inne stawki, to jednak wartość oczekiwana jest bardzo zbliżona do naszych wartości „kolejowych”. Średnio za jeden zakład można oczekiwać wygranej rzędu 2,1 zł, a ponieważ kupon kosztuje 3 zł, na każdym zakładzie traci się 90 groszy. Zważywszy na fakt, że przeciętny gracz kupuje naraz kilka zakładów, powiedzmy cztery, to strata przypadająca na jedno losowanie wynosi… 3,6 zł, czyli prawie dokładnie tyle co strata na podróży podmiejską kolejką.
Czyli kupowanie biletów na kolej, z matematycznego punktu widzenia, niczym się nie różni od kupowania kuponów na LOTTO. Na grze w LOTTO traci się tyle samo pieniędzy co na podróży pociągiem. A jednak ludzie w LOTTO grają – i to masowo. Dlaczego? Otóż – wbrew powszechnym, acz powierzchownym mniemaniom o ich głupocie – gracze w LOTTO, a także w inne gry o podobnych parametrach, nie wydają swoich pieniędzy bez sensu. Oni za te kilka złotych po prostu coś kupują. W przypadku LOTTO tym czymś jest emocja oczekiwania na losowanie, uderzenie adrenaliny w momencie sprawdzania wyników oraz marzenia możliwe do zrealizowania, gdyby kiedyś tę szóstkę udało się trafić. Dla milionów graczy to wszystko jest warte tych kilku złotych straty na każdym losowaniu. Wolno więc przypuszczać, że również podróżujący koleją kupują coś, co uważają za warte tych kilku złotych. Na pewno w tym przypadku nie jest to adrenalina ani marzenia, a zatem co?
No cóż, musimy teraz powrócić do zagadnienia, które u zarania eseju odłożyliśmy pochopnie na bok. W swoim regulaminie przewozów spółka kolejowa mandat za brak biletu nazywa nie „mandatem”, nie „karą”, nie „grzywną”, tylko „opłatą za brak ważnego dokumentu przewozu”, co sugerowałoby, że jest to jeszcze jedna, w niczym, co do zasady, nie różniąca się od biletu np. kwartalnego, forma biletu „losowego”. Faktycznie jednak – wbrew modnym filozofiom głoszącym, że „biedni i potrzebujący” mają moralny obowiązek zabierania potrzebnych sobie dóbr bez płacenia za nie – jazda pociągiem bez biletu jest formą kradzieży.
I społeczeństwo, a przynajmniej ta jego część jeżdżąca podwarszawskimi pociągami, jak widać, tak właśnie rozumuje. Ludzie po prostu chcą być uczciwi i są gotowi nawet za to płacić – przynajmniej te niewielkie kwoty, o których tutaj mowa. Wypisanie mandatu – to jest tfu!!! „pobranie opłaty za przejazd bez ważnego dokumentu przewozu” – to dolegliwość nie tyle finansowa, ile moralna.
To napiętnowanie jako złodzieja, choćby tylko we własnych oczach, jest przykrością, której uniknięcie warte jest zapłaty. Na razie jeszcze drobnej kwoty, ale są to procesy samonapędzające się, niedaleko zatem już jest od stanu, w którym uczciwość będzie warta każdych pieniędzy. Powszechność tej postawy widoczna w dzisiejszej Polsce wcale nie musi być regułą – i w czasach PRL, kiedy skrót „PKP” oznaczał „płać kolejarzowi połowę”, wcale tak nie było. I dzisiaj w wielu krajach tak nie jest.
Występowanie WTK jest jednym z najlepszych dowodów na zmianę nastawienia społecznego w ciągu ostatnich 22 lat, jakie upłynęły od upadku PRL, i przystąpienie Polski, na razie tylko mentalne, do grupy państw cywilizowanych. Chociaż prawo i sposób organizacji kraju i gospodarki ciągle jeszcze nie nadąża, to jednak społeczeństwo jest już w większości czysto wolnorynkowe i praworządne. Gdzieniegdzie egzystują jeszcze jakieś roszczeniowe, złodziejskie enklawy, ale w coraz mniejszej liczbie i sile. Kwestią czasu jest, kiedy prawna i organizacyjna „nadbudowa” podąży za społeczną „bazą” i Polska stanie się normalnym, praworządnym i liberalnym, a w konsekwencji także zamożnym krajem.
Blisko już tego, coraz bliżej.
